conectarse "desde afuera"

[cargo ciencia]

Hola a todos:
Soy principiante en esto de las bases de datos.

El contexto del trabajo es: estoy buscando entender el mundo de las API's o API REST.

Entonces: he creado una base de datos mysql desde un servicio gratuito para paginas web. y estoy tratando de conectarme a esa base de datos "desde afuera" con un codigo de Python. Hasta el momento no he logrado conectarme.

La duda es:
¿Puede conectarse con una base de datos desde afuera del webhosting?
¿O solo se puede acceder a la base de datos estando logeado en el servicio de webhosting?
¿Que tipo de base de datos debo usar o que formato le debo dar para que trabaje con consultas de un api rest?.

Gracias de antemano. Disculpen lo terrible de mi ignorancia.